Obsah

• 0. Úvod
	◦ 0.1. Než začneme s výpočtem
	◦ 0.2. Shrnutí základních pravidel

• 1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné
	◦ 1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí
	◦ 1.2. Výpočet limity funkce
	◦ 1.3. Derivace funkce
	◦ 1.4. Diferenciál funkce
	◦ 1.5. Derivace vyšších řádů

• 2. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných
	◦ 2.1. Reálná funkce více reálných proměnných
	◦ 2.2. Parciální derivace prvního a vyšších řádů
	◦ 2.3. Totální diferenciál prvního a vyšších řádů

• 3. Integrální počet funkce jedné proměnné
	◦ 3.1. Neurčitý integrál
	◦ 3.2. Určitý integrál

• 4. Úvod do řešení diferenciálních rovnic
	◦ 4.1. Diferenciální rovnice prvního a vyšších řádů

• 5. Použitá literatura

0. Úvod

0.1. Než začneme s výpočtem

0.1.1. Část I.

• Výpočet v buňce - spouští se pomocí kombinace kláves SHIFT+ENTER (popřípadě klávesy ENTER na numerické klávesnici).
• Pro zadání informací k výpočtu použijeme buňku označenou ln[n]:= (vstupní buňka) a vypočtený výsledek se zobrazí v buňce Out[n]=. Podívejme se na jednoduchý příklad:

2 + 3

Toto označení se nám bude hodit, budeme-li chtít dále pracovat s výsledkem. Příklad užití je vidět níže:

Out[1] * 10

• Palety nástrojů - důležitý pomocník. Jednoduchým způsobem umožňují využívat jednotlivých funkcí programu. Palety se nacházejí v menu Files -> Palletes. Při výpočtech nám budou nejvíce užitečné tyto palety:
	◦ BasicCalculations - obsahuje syntaxe příkazů pro aritmetiku, algebru, matice, trigonometrické a exponenciální funkce, integrální a diferenciální počet a vykreslování grafů,
	◦ BasicInput - umožňuje jednoduše zadat umocnění, zlomek, integrál atd.,
	◦ CompleteCharacters - umožňuje zadat různé druhy písma (řecké, skript, ...), technické symboly, tvary či operátory.

2^100

0. Úvod

0.1. Než začneme s výpočtem

0.1.2. Část II.

• Menu "Format" - prostřednictvím tohoto menu lze editačnímu oknu i jednotlivým buňkám měnit vlastnosti (velikost a typ písma, barva písma a pozadí, atd.).
• Seskupování buňek - v případě velkého množství výpočtů a pro lepší přehlednost můžeme buňky seskupovat. K tomu využijeme menu Cell.
• Přesnost výsledků - výsledky v tomto programu jsou vždy přesnými, exaktními výsledky.
	◦ příklad:

2^100

◦ Naše výsledky však mohou mít i numericky aproximovaný tvar, např. jako při použití kalkulátoru. K tomu, abychom dosáhli výsledku v tomto tvaru, užijeme funkce //N (popř. N[ ]), kterou ukončíme zadávání vstupu.
	◦ příklad:

2^100  // N

N[2^100]

0. Úvod

0.1. Než začneme s výpočtem

0.1.3. Část III.

• Předchozí výsledek - pomocí symbolu % můžeme využít předchozího výsledku.
	◦ příklad:

23*10

% - 30

• Typy závorek - využíváme čtyř druhů závorek:
	◦ ( ) - kulaté závorky pro seskupování
	◦ [  ] - hranaté závorky pro funkce, např.: f[x]
	◦ { } - složené závorky pro výpisy, např.: {a, b, c}
	◦ [ [  ] ] - dvojité hranaté závorky pro indexování, např.: v[[i]] (matice)
	
• Přerušení výpočtu - pomocí kombinace kláves alt+čárka.

0. Úvod

0.2. Shrnutí základních pravidel

• Argumenty a funkce uvádíme v hranatých závorkách.
		
		• Názvy funkcí zadáváme s velkým písmenem na začátku.
		
		• Názvy proměnných a námi definovaných funkcí zadáváme malými písmeny.
		
		• K umocnění používáme ^ nebo palety nástrojů (□^□).
		
		• Násobení může být prezentováno mezerou!
		
		• K zápisu desetinného čísla používáme tečku.
		
		• Čísla ve vědeckém zápisu vypadají např. takto 1.4*10^-23 nebo 1.4 10^-23.
		
		• Nápovědu k jakékoliv funkci lze získat pomocí klávesy F1.

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.1. Definice proměnné a práce s proměnnými I.

• Proměnnou definujeme pomocí syntaxe:	název_proměnné = zvolená_hodnota.
	◦ příklad:

x  =  12

• Nyní máme v proměnné x uloženu hodnotu 12. Proveďme výpočet výrazu (x^2), za proměnnou x je automaticky dosazena její hodnota.
	◦ příklad:

x^2

• Další definování proměnné se stejným názvem (v našem případě x) způsobí přepsání předchozí hodnoty.
	◦ příklad:

x  =  2  +  a

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.2. Definice proměnné a práce s proměnnými II.

• Tato nová hodnota proměnné x se pak stává platnou pro další požití dané proměnné.
	◦ příklad:

x^2

• Pro vymazání definice proměnné použijeme symbolu tečka. Proměnné již nebude přiřazena žádná hodnota a bude vystupovat pouze jako symbol.

x  =   .

• V následujícím výrazu pak nebude přiřazena x žádná hodnota

x - 2 + 3 x

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.3. Definice proměnné a práce s proměnnými III.

• Chceme-li přiřadit proměnné hodnotu pouze v jednom výrazu, užijeme následující syntaxe:		výraz/.x->zvolená_hodnota.
	◼ pozn.: Mathematica CalcCenter tuto syntaxi pro přiřazení nepodporuje
	◦ příklad:

26 - x^3 /. x -> 2

◦ příklad:

26 - x^3 /. x -> 2 - a

• Přesvědčme se, že v x není uložena žádná hodnota, tj. že předchozí definice proměnné x byly pouze pro dané výrazy.

26 -  x^3

• Definici můžeme provést i pro více promenných. Definici však musíme uzavřít do složených závorek.

(x + y)*(x - y)^2 /. {x -> 3, y -> 1 - a}

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.4. Definice funkce I.

• Kromě toho, že Mathematica obsahuje mnoho integrovaných funkcí, umožňuje uživateli také definování vlastních funkcí.

• Uvedeme si příklad, který definuje funkci f proměnné x. Při definici se používá přiřazovacího symbolu :=. Za tímto symbolem pak následuje vyjádření samotné funkce.
	◦ příklad:

f[x_] := x^2

◦ pozor: ! podtržítko za proměnnou v definici funkce nesmíme zapomenout !
• Funkci pak voláme jejím názvem a argumentem v hranatých závorkách. Argumentem funkce může být číslo nebo jakýkoliv výraz.
	◦ příklady:

f[5]

f[2 + a]

f[x^2 + 3 x + 6]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.5. Definice funkce II.

• Námi definovanou funkci můžeme použít k různým výpočtům v kombinaci s jinými funkcemi vestavěnými v prostředí Mathematica.

◦ příklad:

Sqrt[f[4]]

• Pro zobrazení definice námi vytvořené funkce lze využit syntaxe  ?název_funkce.
	◦ příklad:

?f

• Pro vymazání námi vytvořené funkce využijeme výrazu Clear[název_funkce].

Clear[f]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.6. Definice funkce III.

• Jako v případě proměnné i zde lze předefinovat námi vytvořenou funkci. Vytvořme se funkci mocnina.

mocnina[x_] := x^2

• Za x dosaďme např. číslo 3

mocnina[3]

• Předefinujme nyní funkci mocnina.

mocnina[x_] :=  x^3

• A opět dosaďme za x číslo 3.

mocnina[3]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.7. Grafy funkcí I.

◼ pozn.: Tvorba a úprava grafů v Mathematica CalcCenter je velmi zjednodušená. Z kapitol 1.1.7 až 1.1.20 lze v Mathematica CalcCenter využít pouze údajů obsažených v kapitolách 1.1.7 a 1.1.17

• Pro vykreslení 2D grafů funkcí je v Mathematice zabudována funkce Plot. Pokusím se zde vystihnout základní vlastnosti této funkce, vše budu prezentovat na příslušných příkladech.

• V argumentu funkce Plot musí být zadána nejdříve vykreslovací funkce a dále ve složených závorkách proměnná, pro kterou je funkce vykreslována, a meze této nezávislé proměnné. Syntaxe vypadá takto:	Plot[název_funkce, {proměnná, min, max}].
	◦ příklad:

Plot[Sin[x],  {x,  0,  2*π}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.8. Grafy funkcí II.

• Do jednoho grafu můžeme vykreslit i více funkcí. Tyto fukce musíme uzavřít do složených závorek. Zápis bude následující:
							Plot[{(Subscript[fce, 1]), ..., (Subscript[fce, n])}, {x, xmin, xmax}].
	◦ příklad:

Plot[{Sin[x],  Cos[x]},  {x,  0,  2*Pi} ]

• Pro zpřehlednění zápisu lze nejdříve definovat proměnnou, do které uvedeme seznam všech funkcí, pro které chceme vykreslit jejich průběh.

prom  =  {Sin[x],  Cos [x]}

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.9. Grafy funkcí III.

• Poté můžeme takovou proměnnou použít ve funkci Plot. Zde je však jedno úskalí. Takto nadefinovanou proměnnou musíme nejdříve vyhodnotit (vyvolat). To realizujeme pomoci funkce Evaluate na místě prvního argumentu funkce Plot. Syntaxe pak vypadá takto:	Plot[Evaluate[prom], {x, 0, 2 Pi}].
	◦ příklad:

Plot[Evaluate[prom],  {x,  0,  2 Pi}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.10. Grafy funkcí IV.

• Nyní se podívejme, jak se pracuje s parametry funkce Plot:

◦ všechny parametry vestavěné funkce fce i s jejich výchozím nastavením lze vypsat pomocí funkce Options[fce], v našem případě Options[Plot].

Options[Plot]

◦ pokud nás zajímá jen konkrétní parametr dané funkce, použijeme funkci Options s parametrem, viz. následující příklad:

Options[Plot,  GridLines]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.11. Grafy funkcí V.

• Nyní se podívejme, jak se pracuje s parametry funkce Plot (pokračování):

◦ pro změnu výchozího nastavení některého z parametrů dané funkce musíme použít funkci SetOptions. Příklad použití této funkce si ukážeme právě na funkci Plot. Změníme výchozí hodnotu parametru GridLines z původní hodnoty "None" a novou hodnotu "Automatic".

SetOptions[Plot,  GridLines -> Automatic]

◦ vzhled grafu po provedené změně:

Plot [Sin[x],  {x,  0,  2 Pi}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.12. Grafy funkcí VI.

• Nyní se podívejme, jak se pracuje s parametry funkce Plot (pokračování):

◦ opětovné zrušení mřížky

\(SetOptions\ [Plot, \ GridLines -> None]\)

◦ pozn.: změny parametrů funkce Plot pomocí funkce SetOptions platí pro všechny následně vytvořené grafy, chceme-li však změnit parametry jen u určitého grafu, napíšeme tyto změny přímo ve funkci Plot
		▪ příklad:

Plot [Sin[x],  {x,  0,  2 Pi},  
      Background -> Blue]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.13. Grafy funkcí VII.

• Popis vybraných parametrů funkce Plot:
	◦ Parametry os grafu
		▪ Axes - parametr pro vykreslování os
			možnosti nastavení
				Axes -> True				- osy budou vykresleny
				Axes -> False				- osy nebudou vykresleny
				Axes -> {True, False}			- osa x bude vykreslena, osa y nebude vykreslena (i naopak)
		▪ AxesLabel - parametr pro popisky os grafu
			možnosti nastavení
				AxesLabel -> None			- žádne popisky os
				AxesLabel -> nazev_popisku		- udává popisek pro osu y u 2D grafu a pro osu z u 3D grafu
				AxesLabel -> {nazev_x, nazev_y}	- popisky pro jednotlivé osy
		▪ AxesOrigin - parametr pro určení průsečíku osy x a y
			možnosti nastavení
				AxesOrigin -> {x, y}			- průsečík je dán bodem {x, y}
				AxesOrigin -> Automatic		- pomocí vnitřního algoritmu Mathematica určí průsečík os

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.14. Grafy funkcí VIII.

• Popis vybraných parametrů funkce Plot (pokračování):
		▪ Ticks - parametr pro nastavení značek měřítka os
			možnosti nastavení
				Ticks -> None						- graf bez značek měěřítka os
				Ticks -> Automatic					- značky měřítka os budou vykresleny automaticky
				Ticks -> {{(Subscript[x, 1]), (Subscript[x, 2]), ..., (Subscript[x, N])}, {(Subscript[y, 1]), (Subscript[y, 2]), ..., (Subscript[y, N])}}		- zadání značek na specifické pozice
				Ticks -> {{(Subscript[x, 1]), nazev_(Subscript[x, 1]), ...}, {(Subscript[y, 1]), nazev_(Subscript[y, 1]), ...}}	- zadání značek se specifickými jmény na specifické pozice
	◦ příklad na uvedené parametry os grafu:

Plot [Sin[x],  {x,  0,  2 Pi},  Axes -> True,  
      AxesLabel -> {osa x,  osa y},  AxesOrigin -> {Pi,  0},  
      Ticks -> {{0,  2 Pi},  {-1,  1}}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.15. Grafy funkcí IX.

• Popis vybraných parametrů funkce Plot (pokračování):
	◦ Parametry rámu grafu
		▪ Frame - parametr pro orámování grafu
			možnosti nastavení
				Frame -> True						- graf bude orámován
				Frame -> False						- graf nebude orámován
		▪ FrameLabel - parametr pro pojmenování jednotlivých stran
			možnosti nastavení
				FrameLabel -> None					- bez pojmenování rámu
				FrameLabel -> {x_down, y_left}			- pojmenuje spodní a levou část rámu
				FrameLabel -> {x_down, y_left, x_up, y_right}	- pojmenuje spodní, levou, horní a pravou část rámu
	◦ příklad na výše uvedené parametry:

Plot [Sin[x],  {x,  0, 2 Pi},  Frame -> True,  
      FrameLabel -> {dole,  vlevo,  nahore,  vpravo}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.16. Grafy funkcí X.

• Popis vybraných parametrů funkce Plot (pokračování):
	◦ Text v grafu
		▪ PlotLabel - parametr pro pojmenování grafu
			možnosti nastavení
				PlotLabel -> None		- žádné pojmenování
				PlotLabel -> název_grafu	- k pojmenování grafu můžeme použít libovolného výrazu, chceme-li, aby měl tvar textového řetězce, použijeme uvozovek
		▪ TextStyle - parametr pro nastavení stylu písma v celém grafu
			možnosti nastavení
				TextStyle -> {"style"}		- výběr stylu písma, lze použít předdefinovaných stylů jako v nabídce Format -> Style
		▪ StyleForm - parametr pro nastavení style vybraného textu
			možnosti nastavení
				StyleForm[ expr, "style"]	- expr je výraz, u kterého nastavujeme předdefinovaný "style" podle Format -> Style
	◦ příklad na výše uvedené parametry:

Plot[Sin[x],  {x,  0,  2 Pi},  
      PlotLabel -> 
        StyleForm["Graf funkce sin(x)",  FontColor -> Green,  
          FontSlant -> "Plain"],  
      TextStyle -> {FontFamily -> "Arial",  
          FontSize -> 11,  FontColor -> RGBColor[1, 0, 0],  
          FontWeight -> "Bold",  
          FontSlant -> "Italic"} ]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.17. Grafy funkcí XI.

• Funkce Show - zobrazení grafů
	◦ Mathematica je schopna uchovávat v proměnných grafy a informace o grafech, které vytvoříme. K těmto proměnným můžeme později přistoupit pomocí funkce Show a tak znovuzobrazit již dříve nadefinované grafy. Syntaxe funkce je následující:		Show[název_grafu].
		možnosti nastavení
			▪ Show[graf1, graf2, ...]				- vykreslí více grafů do jednoho
			▪ Show[GraphicsArray[{graf1, graf2}]]		- vykreslí graf do pole (zasebou)
			▪ Show [GraphicsArray[{{graf1}, {graf2}}]]		- vykreslí graf do pole (pod sebe)
	◦ příklady:
		▪ nejdříve si uložíme do proměnných graf1 a graf2 různé grafy

graf1  =  Plot[Sin[x],  {x,  0,  2 Pi}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.18. Grafy funkcí XII.

graf2  =  Plot[Sin[4 x],  {x,  0,  2 Pi}]

Show[graf1,  graf2]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.19. Grafy funkcí XIII.

Show[GraphicsArray[{graf1,  graf2}]]

Show[GraphicsArray[{{graf1},  {graf2}}]]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.1. Práce s proměnnou. Reálná funkce reálné proměnné. Grafy funkcí

1.1.20. Grafy funkcí XIV.

• Funkce ParametricPlot - graf funkce zadané parametricky.
	◦ Nastavení parametrů této funkce je stejné jako u funkce Plot.
	◦ Syntaxe:	ParametricPlot[{(Subscript[f, x]), (Subscript[f, y])}, {t, tmin, tmax}]
	◦ příklad:

ParametricPlot[{Sin[t],  Sin[2  t]},  {t,  0,  2 Pi}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.1. Limita v bodě

◼ pozn.: Funkce Limit není v Mathematica CalcCenter podporována !!! Kapitoly 1.2.1 až 1.2.9 jsou určeny jen pro produkt Mathematica.
• Obecný předpis pro limitu funkce fce pro x blížící se (Subscript[x, 0]):	Limit[fce, x->(Subscript[x, 0])].
	◦ příklad:

Limit[Sin[x]/x,  x -> 0]

• Pro ověření správnosti výsledku si vykreslíme graf.

Plot[Sin[x]/x,  {x, -5, 5}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.2. Limita v bodě - příklady

• Příklady k procvičení - vypočítejte limity a zobrazte grafy příslušných funkcí na daných intervalech:

	a)	(Underscript[( lim), x -> ∞])(1/x)			\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(x -> \(-∞\)\)\)(1/x)				(-2, 2)

	b)	(Underscript[( lim), x -> ∞]) (((1+(1/x)))^x)		(Underscript[( lim), x -> 0]) (((1+x))^((1/x)))			(1, 100), (-0.8, 1)

	c)	(Underscript[( lim), x -> 0]) ((ln(1 + x))/x)						(-0.9, 0.3)

	d)	(Underscript[( lim), x -> 0]) (((x^2) - 9)/((x^2) - 7  x + 12))		(Underscript[( lim), x -> ∞]) (((x^2) - 9)/((x^2) - 7  x + 12))			(-20, 1), (10, 200)

	e)	\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(x -> \(-\(π\/2\)\)\)\) ((sin(x))/(((x + (π/2)))^2))						(-15, 15)

	f)	(Underscript[( lim), x -> 0]) ((x +  ln(1 + x))/(2  x -  ln(1 + x)))						(-0.2, 5)

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.3. Limita v bodě - výsledky I.

• Řešení:
	a)

Limit[1/x,  x -> ∞]

Limit[1/x,  x -> -∞]

Plot[1/x,  {x,  -2,  2}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.4. Limita v bodě - výsledky II.

• Řešení (pokračování):

b)

Limit[(((1 + 1/x))^x),  x -> ∞]

Plot[(((1 + 1/x))^x),  {x, 1, 100}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.5. Limita v bodě - výsledky III.

• Řešení (pokračování):

c)

Limit[Log[(1 + x)]/x,  x -> 0]

Plot[Log[(1 + x)]/x,  {x, -0.9, 0.3}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.6. Limita v bodě - výsledky IV.

• Řešení (pokračování):

d)

Limit[((x^2) - 9)/((x^2) - 7 x + 12),  x -> 0]

Plot[((x^2) - 9)/((x^2) - 7 x + 12),  {x, -20, 
        1}]

Limit[((x^2) - 9)/((x^2) - 7 x + 12),  
      x -> ∞]

Plot[((x^2) - 9)/((x^2) - 7 x + 12),  {x, 10, 200},  
      AxesOrigin -> {10, 1}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.7. Limita v bodě - výsledky V.

• Řešení (pokračování):

e)

Limit[Sin[x]/(((x + Pi/2))^2),  x -> -Pi/2]

Plot[Sin[x]/(((x + Pi/2))^2),  {x, -15, 15},  
      AxesOrigin -> {-Pi/2,  Automatic}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.8. Limita v bodě - výsledky VI.

• Řešení (pokračování):

f)

Limit[(x + Log[1 + x])/(2 x - Log[1 + x]),  
      x -> 0]

Plot[(x + Log[1 + x])/(2 x - Log[1 + x]),  {x, -0.2, 
        5}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.9. Jednostranné limity

• Obecný předpis pro jednostrannou limitu funkce fce pro x blížící se (Subscript[x, 0]):	Limit[fce, x->(Subscript[x, 0]), Direction->±1].
• Jak je vidět, v předpisu se vyskytuje parametr Direction. Tento parametr nabývá pouze dvou hodnot, v závislosti na typu jednostranné limity. Pro limitu zleva nabývá hodnoty 1 a pro limytu zprava hodnoty -1. 
	◦ příklad:

Limit[1/x,  x -> 0,  Direction -> 1]

Limit[1/x,  x -> 0,  Direction -> -1]

• Opět si vykreslíme graf.

Plot [1/x,  {x,  -3,  3}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.10. Jednostranné limity - příklady

• Příklady k procvičení - vypočítejte limity a zobrazte grafy příslušných funkcí na daných intervalech:

	a)	\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(x -> \(1\^+\)\)\)((x + 1)/(x - 1))		\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(x -> \(1\^-\)\)\)((x + 1)/(x - 1))				(-1, 3)

	b)	\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(x -> \(1\^-\)\)\) arctg((1/(1 - x)))		\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(x -> \(1\^+\)\)\) arctg((1/(1 - x)))				(-20, 20)

	c)	\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(x -> \(0\^-\)\)\) (1/(1 + (e^((1/x)))))		\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(x -> \(0\^+\)\)\) (1/(1 + (e^((1/x)))))				(-5, 5)

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.11. Jednostranné limity - výsledky I.

• Řešení:
	a)

Limit[(x + 1)/( x - 1),  x -> 1,  
      Direction -> 1]

Limit[(x + 1)/( x - 1),  x -> 1,  
      Direction -> -1]

Plot[(x + 1)/( x - 1),  {x, -1, 3}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.12. Jednostranné limity - výsledky II.

• Řešení (pokračování):

b)

Limit[ArcTan[1/(1 - x)],  x -> 1,  
      Direction -> -1]

Limit[ArcTan[1/(1 - x)],  x -> 1,  
      Direction -> 1]

Plot[ArcTan[1/(1 - x)],  {x, -20, 20}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.13. Jednostranné limity - výsledky III.

• Řešení (pokračování):

c)

Limit[1/(1 + (E^((1/x)))),  x -> 0,  
      Direction -> 1]

Limit[1/(1 + (E^((1/x)))),  x -> 0,  
      Direction -> -1]

Plot[
      1/(1 + (E^((1/x)))),  {x, -5, 5}]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.14. Limita funkce více proměnných

• Obecný předpis pro limitu funkce fce dvou proměnných x a y blížících se (Subscript[x, 0]) a (Subscript[y, 0]):		Limit[Limit[fce, x->(Subscript[x, 0])], y->(Subscript[y, 0])].

• Pro limitu funkce tří a více proměnných je postup stejný, na půdovní limitu "nabalujeme" další limity.
	◦ příklad:

Limit[Limit[3*y - x*y,  x -> 2],  y -> 3]

• Pokud limita funkce více proměnných existuje, pak nezáleží na pořadí vyhodnocení proměnných.
	◦ příklad - využijeme předešlého příkladu, nyní však budeme nejdříve počítat limitu proměnné y a poté proměnné x

Limit[Limit[3*y - x*y,  y -> 3],  x -> 2]

◦ Oba výsledky se shodují.

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.15. Limita funkce více proměnných - příklady

• Příklady k procvičení -vyšetřete existenci následujících limit v daném bodě, existuje-li limita, určete její hodnotu v tomto bodě:

	a)	\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(\((x, \ y)\) -> \((2, \ 3)\)\)\)((y - 3)/(x + y - 5))

	b)	\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(\((x, \ y)\) -> \((0, \ 0)\)\)\)((x + y)/(x - y))

	c)	\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(\((x, \ y)\) -> \((0, \ 0)\)\)\) \(TraditionalForm\`\(\(x\^2\) y\^2\)\/\(\(x\^2\) y - \((x - y)\)\^2\)\)

	d)	\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(\((x, \ y)\) -> \((1, \ 1)\)\)\) \(TraditionalForm\`\((\(tg(x\^2 - y\^2)\)\/\(x - y\))\)\^\(\(1\/\(1 - x\)\)\/\(1\/\(1 - x\) + y\)\)\)

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.16. Limita funkce více proměnných - výsledky I.

• Řešení:
	a)

Limit[Limit[(y - 3)/( x + y - 5),  x -> 2],  
      y -> 3]

Limit[Limit[(y - 3)/( x + y - 5),  y -> 3],  
      x -> 2]

závěr: limita \(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(\((x, \ y)\) -> \((2, \ 3)\)\)\)((y - 3)/(x + y - 5)) v daném bodě neexistuje

b)

Limit[Limit[(x + y)/( x - y),  x -> 0],  
      y -> 0]

Limit[Limit[(x + y)/( x - y),  y -> 0],  
      x -> 0]

závěr: limita \(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(\((x, \ y)\) -> \((0, \ 0)\)\)\)((x + y)/(x - y)) v daném bodě neexistuje

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.2. Výpočet limity funkce

1.2.17. Limita funkce více proměnných - výsledky II.

• Řešení (pokračování):

c)

Limit[
      Limit[((x^2) (y^2))/((x^2) y - (((x - y))^2)),  
        x -> 0],  y -> 0]

Limit[
      Limit[((x^2) (y^2))/((x^2) y - (((x - y))^2)),  
        y -> 0],  x -> 0]

závěr: limita \(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(\((x, \ y)\) -> \((0, \ 0)\)\)\) \(TraditionalForm\`\(\(x\^2\) y\^2\)\/\(\(x\^2\) y - \((x - y)\)\^2\)\) v daném bodě existuje a její hodnota je \(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(\((x, \ y)\) -> \((0, \ 0)\)\)\) \(TraditionalForm\`\(\(x\^2\) y\^2\)\/\(\(x\^2\) y - \((x - y)\)\^2\)\) = 0

d)

Limit[
      Limit[(((Tan[(x^2) - (y^2)]/(x - y)))^((((1/(1 - x)))/((1/(1 - x)) + y)))),  x -> 1], y -> 1]

Limit[
      Limit[(((Tan[(x^2) - (y^2)]/(x - y)))^((((1/(1 - x)))/((1/(1 - x)) + y)))),  x -> 1], y -> 1]

závěr: limita\(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(\((x, \ y)\) -> \((1, \ 1)\)\)\) \(TraditionalForm\`\((\(tg(x\^2 - y\^2)\)\/\(x - y\))\)\^\(\(1\/\(1 - x\)\)\/\(1\/\(1 - x\) + y\)\)\) v daném bodě existuje a její hodnota je \(TraditionalForm\`\(\(\ \)\(lim\)\)\+\(\((x, \ y)\) -> \((1, \ 1)\)\)\) \(TraditionalForm\`\((\(tg(x\^2 - y\^2)\)\/\(x - y\))\)\^\(\(1\/\(1 - x\)\)\/\(1\/\(1 - x\) + y\)\)\) = 2

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.3. Derivace funkce

1.3.1. Výpočet derivace I.

• V prostředí Mathematica je možno derivaci zadávat více způsoby. Podívejme se nyní na tyto možnosti:
	◦ pomocí symbolu (∂_□) nebo funkce D			(∂_x) fce  nebo  D[fce, x]
	◦ pomocí funkce Derivative 				Derivative[1][fce][x]
		▪ zde však nejdříve musíme definovat funkci, kterou chceme derivovat, např. funkce[x_]:=x^2, pak již můžeme použít  Derivative[1][funkce][x]
			▫ pozn.: číslo v první závorce za slovem Derivative znamená stupeň derivace, takže v našem případě se jedná o první derivaci.
	◦ klasicky pomocí apostrofu				f ' [x]
		▪ platí zde to samé jako v předchzím bodě, nejdříve definujeme funkci a pak ji zderivujeme, tzn.
			derivovana_fce[x_]:= x^3+x
			derivovana_fce'[x]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.3. Derivace funkce

1.3.2. Výpočet derivace II.

◦ uvěďme si pár příkladů na různé zápisy derivace:

(∂_x)(x^4 - 3  x^2 + 10)

D[x^4 - 3  x^2 + 10,  x]

f1[x_] := x^4 - 3  x^2 + 10;  Derivative[1][f1][x]

f2[x_] := x^4 - 3  x^2 + 10;  f2'[x]

◦ derivace v daném bodě - využijeme funkce Derivative, místo proměnné, podle které derivujeme, napíšeme hodnotu:

fce[x_] := 3 x^2  -  4 x;  Derivative[1][fce][
      3]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.3. Derivace funkce

1.3.3. Příklady

• Příklady k procvičení - derivujte následující funkce (podle proměnné x):

	a)	f1(x) = arctg(x)

	b)	f2(x) = argcosh(x)

	c)	f3(x) = arcsin(((1 - (x^2))/(1 + (x^2))))					(obecně a pro x = 1)

	d)	f4(x) = ((ln cos(x))/(ln x))

	e)	f5(x) = (1+x)(Sqrt[2 + (x^2)]) ((3 + (x^3))^(1/3))			(obecně a pro x = 0)

	f)	f6(x) = exp x + exp(exp x) + exp(exp(exp x))

	g)	f7(x) = (e^x)(1+cotg(x/2))					(obecně a pro x = π)

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.3. Derivace funkce

1.3.4. Výsledky I.

• Řešení:
	a)

f1[x_] :=  ArcTan[x];  f1'[x]

b)

f2[x_] := ArcCosh[x];  f2'[x]

c)

f3[x_] := ArcSin[(1 - x^2)/(1 + x^2)];  f3'[x]

f3'[1]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.3. Derivace funkce

1.3.5. Výsledky II.

• Řešení (pokračování):

d)

f4[x_] := Log[Cos[x]]/Log[x];  f4'[x]

e)

f5[x_] :=  (1 + x) (Sqrt[2 + x^2]) ((3 + x^3)^(1/3));  f5'[
      x]

f5'[0]

f)

f6[x_] := (E^x) + (E^((E^x))) + (E^((E^((E^x)))));  f6'[
      x]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.3. Derivace funkce

1.3.6. Výsledky III.

• Řešení (pokračování):

g)

f7[x_] := (E^x) (1 + Cot[(x/2)]);  f7'[
      x]

f7'[Pi]

▪ pozn.:  funkce Csc[x] je kosekans a je roven  Csc[x] = (1/Sin)[x]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.4. Diferenciál funkce

1.4.1. Výpočet I.

◼ pozn.: Diferenciál funkce není v Mathematica CalcCenter podporován. Kapitoly 1.4.1 a 1.4.2 jsou určeny jen pro produkt Mathematica.
• V prostředí Mathematica lze diferenciál funkce určit pomocí vestavěné funkce Dt. Syntaxe je následující:
	◦ Dt [fce]	najde diferenciál funkce fce.

• Uvěďme si několik příkladů:
	◦ příklad 1.

Dt[3 x + 4]

◦ příklad 2.

Dt[2 x^2  - 3 x + 4]

◦ příklad 3.

Simplify[Dt[2 x^2  - 3 x + 4]]

◦ příklad 4.

Dt[a x,  Constants -> a]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.4. Diferenciál funkce

1.4.2. Výpočet II.

• Pokud bychom v příkladu 4. nedefinovali konstantu a pomocí parametru Constants, Mathematica by s touto konstantou pracovala jako s proměnnou závislou na x, tj. a = a(x).	
	◦ příklad 5.

Dt[ a x^2 + b x + c,  Constants -> {a, b, c}]

◦ příklad 6.

Simplify[
      Dt[ a x^2 + b x + c,  Constants -> {a, b, c}]]

Out[34]  /.  Dt[x, Constants -> {a, b, c}] -> dx

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.5. Derivace vyšších řádů

1.5.1. Výpočet

• K zadávání derivace vyšších řádů se využívá stejných funkcí jako v případě derivace prvního řádu, uveďme si nyní tyto funkce v obecném tvaru:

◦ funkce D				 D[fce, {x, n}]
	◦ Derivative 				Derivative[n][fce][x]
	◦ klasicky pomocí apostrofu		f '''' [x]
		▪ pozn.: kolik apostrofů, tolikátá derivace se bude počítat, pozor - neplatí zde tento zápis (f^((n))) jako n-tá derivace!
	◦ opět si uvedeme několik příkladů:

D[x^4 - 3  x^2 + 10,  {x,  3}]

f1[x_] := x^4 - 3  x^2 + 10;  Derivative[3][f1][x]

f2[x_] := x^4 - 3  x^2 + 10;  f2'''[x]

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.5. Derivace vyšších řádů

1.5.2. Příklady

• Příklady k procvičení - derivujte následující funkce (podle proměnné x), požadovaný řád je uveden v závorkách:

	a)	n1(x) = x(((2  x - 1))^2)(((x + 3))^3)		(najděte 6. a 7. derivaci)

	b)	n2(x) = ((1 + x)/(Sqrt[1 - x]))				(najděte 3. derivaci)

	c)	n3(x) = (sin^2) xln x			(najděte 2. derivaci)

	d)	n4(x) = \(TraditionalForm\`\(cos(3  x)\)\/\@\(1 - 3  x\)\%3\)			(najděte 3. derivaci)

1. Diferenciální počet funkce jedné proměnné

1.5. Derivace vyšších řádů

1.5.3. Výsledky

• Řešení:
	a)

D[x (((2 x - 1))^2) (((x + 3))^3),  {x,  6}]

n1[x_] := 
      x (((2 x - 1))^2) (((x + 3))^3);  Derivative[7][n1][
      x]

b)

n2[x_] :=  (1 + x)/Sqrt[1 - x];  Derivative[3][n2][
      x]

c)

D[Sin[x]^2 Log[x],  {x, 2}]

d)

n4[x_] := Cos[3 x]/((1 - 3 x)^(1/3));  n4'''[x]

2. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných

2.1. Reálná funkce více reálných proměnných

2.1.1. Část I.

• Pro zopakování uveďme, že reálnou funkci jedné reálné proměnné definujeme jako:			f [prom_]:= výraz.

• Podobně budeme postupovat i u reálné funkce více proměnných, zápis bude vypadat takto:		funkce [(Subscript[prom, 1])_, (Subscript[prom, 2]) _, ..., (Subscript[prom, n])_] := výraz
	◦ příklad:

f[x_, y_] := (x - 2 y)^2

◦ příklad:

f[3, -1]

◦ příklad:

f[x_,  y_,  z_,  w_,  q_] :=  x^y + z/w - q

f[2, 3, 4, 2, 7]

2. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných

2.1. Reálná funkce více reálných proměnných

2.1.2. Část II.

• Hodnoty pro více proměnných můžeme zadávat každou zvášť do vstupní buňky

x1 = 1

x2 = 2

x3 = 3

nebo jen do jedné vstupní buňky. K oddělení příkazů využijeme symbolu ; (středník).

x1 = 1;  x2 = 2;  x3 = 3

• Použijeme-li středník za posledním výrazem, zabráníme tím, aby se nám zobrazilo výstupní pole.

x1 = 3;  x2 = 8;  x3 = 5;

• Chceme-li přiřadit proměnným hodnoty pouze v jednom výrazu, použijeme podobného zápisu jako v případě jedné proměnné. Definici však musíme uzavřít do složených závorek:

(x + y)*(x - y)^2 /. {x -> 3, y -> 1 - a}

2. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných

2.2. Parciální derivace prvního a vyšších řádů

2.2.1. Výpočet I.

• K výpočtu parciálních derivací používáme stejných funkcí jako v případě derivace reálné funkce jedné proměnné. Podívejme se nyní na obecný zápis těchto funkcí:
	◦ (∂_x) fce nebo D[fce, x]				najde parciální derivaci funkce fce podle proměnné x
	 ◦ D[fce, {x, n}] nebo Derivative[n][fce][x]		najde parciální derivaci n-tého řádu funkce fce podle proměnné x. 

• Nyní si uveďmě několik příkladů použití těchto funkcí:
	◦ příklad 1.

(∂_z) (x^3 - 12 z^4 y^3)

◦ příklad 2.

D[x^3 - 12 z^4 y^3,  y]

◦ příklad 3.

Fz[z_] :=  x^3 - 12 z^4 y^3;  Derivative[3][Fz][
      z]

2. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných

2.2. Parciální derivace prvního a vyšších řádů

2.2.2. Výpočet II.

• Nyní si uveďmě několik příkladů použití těchto funkcí (pokračování):
	◦ příklad 4.

(∂_(x, x)) (x^2*y^2)

◦ příklad 5.

D[x^2*y^2,  x,  y,  x]

◦ příklad 6.

D[x^2*y^2,  {x,  2},  {y,  2}]

**nefunguje prirazeni
	◦ příklad 7. - pro výpočet funkce ((x^2) (y^2)) v bodě x = 2 musíme použít následujícího zápisu:

D[x^2*y^2,  x] /. x->2

2. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných

2.2. Parciální derivace prvního a vyšších řádů

2.2.3. Příklady

• Příklady k procvičení - najděte / vypočtěte následující parciální derivace:

	a)	f(x, y) = 3(x^2)y + sin((xy^2))				(1. parciální derivaci (p.d.) podle x a 1.p.d. podle y)

	b)	f(x, y) = (x^(1/3))+ (y^2)					(1. p.d. podle x a 1.p.d. podle y, v bodě c = [1, 5])

	c)	f(x, y) = 2(e^(-((x^2) + (y^2))))					(2.p.d. podle x)
	
	d)	f(x, y) = ((ln((x/y)))/((x^2) - (y^2)))						(2.p.d. podle x,y)

	e)	f(x, y) = x-y+(x^2)+2xy+(y^2)+(x^3)-3(x^2)y-(y^3)+(x^4)-4(x^2)(y^2)	(všechny 1., 2. a 3. parciální derivace)

2. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných

2.2. Parciální derivace prvního a vyšších řádů

2.2.4. Výsledky I.

• Řešení:
	a)

(∂_x)(3 x^2 y  +  Sin[x y^2])

(∂_y)(3 x^2 y  +  Sin[x y^2])

b)

D[(x^(1/3)) y^2,  x] /. x -> 1

D[(x^(1/3)) y^2,  y] /. y -> 5

2. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných

2.2. Parciální derivace prvního a vyšších řádů

2.2.5. Výsledky II.

• Řešení (pokračování):

c)

D[2 (E^(-(x^2 + y^2))),  {x,  2}]

d)

D[Log[(x/y)]/((x^2) - (y^2)),  x, y]

2. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných

2.2. Parciální derivace prvního a vyšších řádů

2.2.6. Výsledky III.

e)

D[x - y + x^2 + 2 x y + y^2 + x^3 - 3 x^2 y - y^3 + x^4 - 
        4 x^2 y^2,  x]

D[x - y + x^2 + 2 x y + y^2 + x^3 - 3 x^2 y - y^3 + x^4 - 
        4 x^2 y^2,  y]

D[x - y + x^2 + 2 x y + y^2 + x^3 - 3 x^2 y - y^3 + x^4 - 
        4 x^2 y^2,  {x, 2}]

D[x - y + x^2 + 2 x y + y^2 + x^3 - 3 x^2 y - y^3 + x^4 - 
        4 x^2 y^2,  x, y]

D[x - y + x^2 + 2 x y + y^2 + x^3 - 3 x^2 y - y^3 + x^4 - 
        4 x^2 y^2,  {y, 2}]

D[x - y + x^2 + 2 x y + y^2 + x^3 - 3 x^2 y - y^3 + x^4 - 
        4 x^2 y^2, {x, 3}]

D[x - y + x^2 + 2 x y + y^2 + x^3 - 3 x^2 y - y^3 + x^4 - 
        4 x^2 y^2,  {x, 2}, y]

D[x - y + x^2 + 2 x y + y^2 + x^3 - 3 x^2 y - y^3 + x^4 - 
        4 x^2 y^2, x,  {y,  2}]

D[x - y + x^2 + 2 x y + y^2 + x^3 - 3 x^2 y - y^3 + x^4 - 
        4 x^2 y^2,  {y, 3}]

2. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných

2.3. Totální diferenciál prvního a vyšších řádů

2.3.1. Výpočet I.

◼ pozn.: Totální diferenciál není v Mathematica CalcCenter podporován. Kapitoly 2.3.1 až 2.3.3 jsou určeny jen pro produkt Mathematica.
• K určení totálního diferenciálu pomocí programu Mathematica slouží funkce Dt.

• Syntaxe této funkce vypadá následovně:
	◦ Dt [fce]		najde totální diferenciál funkce fce.
	◦ Dt [fce, x]		zobrazí úplnou derivaci funkce fce podle proměnné x. 
	◦ Dt [fce, {x, n}]	zobrazí n-tou úplnou derivaci podle x ( (d^n)fce / d (x^n)).

	◦ příklad 1.

Dt[x y]

◦ příklad 2.

Dt[x y,  x]

• Z příkladu 2. je vidět, že proměnná y je fukcí proměnné x, tzn. y = y(x).

◦ příklad 3.

Dt[a x y,  x,  Constants -> a]

2. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných

2.3. Totální diferenciál prvního a vyšších řádů

2.3.2. Výpočet II.

• Pomocí parametru Constans můžeme definovat různé konstanty vyskytující se ve výrazu. Názornou ukázku tvoří příklad 3., ve kterém a je konstantou, y = y(x) a x je nezávislá proměnná.

◦ příklad 4.

Dt[a x  + b y,  x,  Constants -> {a,  b}]

◦ příklad 5.

Dt[x^3,  {x, 2}]

◦ příklad 6.

Dt[x^3 y,  {x, 2}]

2. Diferenciální počet funkce dvou a více proměnných

2.3. Totální diferenciál prvního a vyšších řádů

2.3.3. Výpočet III.

• K zamyšlení: jaký je rozdíl mezi x a y v příkladech 7, 8 a 9 ? Řešení jistě najde každý sám.

◦ příklad 7.

Dt[x^3 y,  x,  y]

◦ příklad 8.

Dt[x^3 y,  x,  y,  Constants -> x]

◦ příklad 9.

Dt[x^3 y,  x,  y,  Constants -> y]

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.1. Neurčitý integrál

3.1.1. Výpočet I.

• Pro výpočet neurčitého integrálu v prostředí Mathematica můžeme využít funkce Integrate nebo symbolického zápisu (tak, jak to známe z matematiky) nacházejícího se v nástrojové paletě:
	◦ funkce Integrate	- syntaxe této funkce vypadá následovně:	Integrate[fce, prom] 
				-  fce je integravaná funkce a prom je proměnná podle níž integrujeme

◦ symbolický zápis integrace:		∫fce dx

• Uveďmě si nekolik příkladů na tyto dva zápisy integrálů:
	◦ příklad 1.

∫(x^2) \[DifferentialD]x

◦ příklad 2.

∫(x^3 - 2 x  y) \[DifferentialD]x

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.1. Neurčitý integrál

3.1.2. Výpočet II.

• Uveďmě si několik příkladů na tyto dva zápisy integrálů (pokračování):

◦ příklad 3.

Integrate[x^2,  x]

◦ příklad 4.

Integrate[x^3 - 2 x  y,  x]

◦ příklad 5.

Integrate[x^3 - 2 x  y + y^x,  x]

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.1. Neurčitý integrál

3.1.3. Příklady I.

• Příklady k procvičení - vypočtěte následující integrály:
	
	a)	∫(x + (Sqrt[x])) dx
	
	b)	∫((x^2)/(Sqrt[x])) dx
	
	c)	∫((x^2)/(1 + 
                (x^2))) dx
	
	d)	∫x arccotg(x) dx
	
	e)	∫(1/((sin^2)(
                3  x))) dx
	
	f)	∫(((cos^3) 
                x)/(sin x)) dx
	
	g)	∫((arccos x  -  
                x)/(Sqrt[1 - (x^2)])) dx

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.1. Neurčitý integrál

3.1.4. Příklady II.

• Příklady k procvičení - vypočtěte následující integrály (pokračování):
	
	h)	∫((2  (x^2) - 3  x - 
                3)/((x - 1) ((x^2) - 2  x + 
                    5))) dx
	
	i)	\(TraditionalForm\`∫\(1\/\(x \@\( x\^2 + \ 4  x\  - \ 4\)\)\) dx\)
	
	j)	∫((x  +  
                1)/((2  x  +  
                    (x^2)) (Sqrt[2  x  +  (x^2)]))) dx
	
	k)	∫(((((1  +  
                      (x^((1/2)))))^3))^(1/4)) dx
	
	l)	∫(sin^5) x dx
	
	m)	∫(tg^3) x dx
	
	n)	\(TraditionalForm\`∫\(\(\(sin\^3\) 
                x\)\/\@\(\(cos\^4\) x\)\%3\) dx\)

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.1. Neurčitý integrál

3.1.5. Příklady III.

• Příklady k procvičení - vypočtěte následující integrály (pokračování):
	
	o)	∫(((e^x) (Sqrt[arctg (e^x)]))/(1 + 
                (e^(2  x)))) dx
	
	p)	∫((9  x - 14)/(9  (x^2) - 24  x + 
                16)) dx
	
	q)	∫(((x^3) - 6  (x^2) + 10  x - 
                2)/((((x - 3))^2) ((x^2) - 4  x + 
                    5))) dx
	
	r)	\(TraditionalForm\`∫\(1\/\@\(\(sin\^3\) x\ \(cos\^5\) x\)\%4\) dx\)
	
	s)	∫(1/(1 + 
                tg x)) dx

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.1. Neurčitý integrál

3.1.6. Výsledky I.

• Řešení:
	a)

Integrate[x + (Sqrt[x]), x]

b)

Integrate[x^2/(Sqrt[x]), x]

c)

∫((x^2)/(1 + (x^2))) \[DifferentialD]x

d)

Integrate[x*ArcCot[x], x]

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.1. Neurčitý integrál

3.1.7. Výsledky II.

• Řešení (pokračování):

e)

∫((1/Sin)[3 x]^2) \[DifferentialD]x

f)

Integrate[Cos[x]^3/Sin[x], x]

g)

∫((ArcCos[x] - 
              x)/(Sqrt[1 - (x^2)])) \[DifferentialD]x

h)

Integrate[(2 x^2 - 3 x - 
            3)/((x - 1) (x^2 - 2 x + 5)),  x]

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.1. Neurčitý integrál

3.1.8. Výsledky III.

• Řešení (pokračování):

i)

Integrate[1/(x Sqrt[x^2 + 4 x - 4]),  x]

j)

Integrate[(x + 1)/((2 x + x^2) Sqrt[2 x + x^2]),  
      x]

k)

Integrate[(((((1 + (x^((1/2)))))^3))^(1/4)),  x]

l)

∫Sin[x]^5 \[DifferentialD]x

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.1. Neurčitý integrál

3.1.9. Výsledky IV.

• Řešení (pokračování):

m)

∫Tan[x]^3 \[DifferentialD]x

n)

Integrate[Sin[x]^3/((Cos[x]^4)^(1/3)),  x]

o)

∫(((E^x) (Sqrt[ArcTan])[(E^x)])/(1 + (E^(2 x)))) \[DifferentialD]x

p)

∫((9 x - 14)/(9 (x^2) - 24 x + 
              16)) \[DifferentialD]x

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.1. Neurčitý integrál

3.1.10. Výsledky V.

• Řešení (pokračování):

q)

∫(((x^3) - 6 (x^2) + 10 x - 
              2)/((((x - 3))^2) ((x^2) - 4 x + 
                  5))) \[DifferentialD]x

r)

\(∫\(1\/\@\(Sin[x]\^3\ Cos[x]\^5\)\%4\) \[DifferentialD]x\)

s)

∫(1/(1 + Tan[x])) \[DifferentialD]x

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.2. Určitý integrál

3.2.1. Výpočet I.

• K výpočtu určitého integrálu užijeme podobných postupů jako v případě neurčitého integrálu, které jen zobecníme.

• Pro výpočet určitého integrálu opět využijeme funkce Integrate nebo symbolického zápisu (tak, jak to známe z matematiky) nacházejícího se v nástrojové paletě:
	◦ funkce Integrate	- syntaxe této funkce vypadá následovně:	Integrate[fce, {x, xmin, xmax}] 
				-  fce je integravaná funkce, x je proměnná podle níž integrujeme a xmin, xmax jsou meze integrace

◦ symbolický zápis integrace:		(∫_xmin^xmax) fce dx

• Uveďmě si nekolik příkladů na tyto dva zápisy integrálů:
	◦ příklad 1.

(∫_1^3) (x^2) \[DifferentialD]x

◦ příklad 2.

(∫_1^3)(x^3 - 2 x y) \[DifferentialD]x

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.2. Určitý integrál

3.2.2. Výpočet II.

• Uveďmě si několik příkladů na tyto dva zápisy integrálů (pokračování):
	◦ příklad 3.

Integrate[x^2,  {x,  1,  3}]

◦ příklad 4.

Integrate[x^3 - 2 x  y,  {x,  1,  3}]

◦ příklad 5.

Integrate[Cos[x/2]^2,  {x,  0,  Pi}]

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.2. Určitý integrál

3.2.3. Příklady

• Příklady k procvičení - vypočtěte následující určité integrály:
	
	a)	(∫_a^b) (x^2) dx
	
	b)	\(TraditionalForm\`∫\_\(-2\)\%\(-1\)\(1\/\((11 + 5  x)\)\^3\) dx\)
	
	c)	\(TraditionalForm\`∫\_0\%\(π\/2\)e\^\(2\ x\)\ cos\ x dx\)
	
	d)	(∫_0^1) (Sqrt[2  x  -  
                (x^2)]) dx
	
	e)	(∫_0^((π/2)))((sin x)/(6 - 
                5  cos x  +  (cos^2) x)) dx
	
	f)	(∫_(-1)^3) 
          x (e^(3 - (x^2))) dx
	
	g)	\(TraditionalForm\`∫\_e\%\(e\^2\)3  x\ ln\ x dx\)
	
	h)	\(TraditionalForm\`∫\_0\%1\( e\^\(\@x\)\/\@x\) dx\)

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.2. Určitý integrál

3.2.4. Výsledky I.

• Řešení:
	a)

Integrate[x^2, {x,  a,  b}]

b)

(∫_(-2)^(-1))(1/(((11 + 5 x))^3)) \[DifferentialD]x

c)

Integrate[Exp[2 x] Cos[x], {x,  0,  Pi/2}]

d)

Integrate[Sqrt[2 x - x^2],  {x,  0,  1}]

3. Integrální počet funkce jedné proměnné

3.2. Určitý integrál

3.2.5. Výsledky II.

• Řešení (pokračování):

e)

Integrate[
      Sin[x]/(6 - 5 Cos[x] + Cos[x]^2),  {x,  0,  Pi/2}]

f)

Integrate[x Exp[3 - x^2],  {x,  -1,  3}]

g)

Integrate[3 x Log[x],  {x,  Exp[1],  Exp[2]}]

h)

(∫_0^1) ((E^((Sqrt[x])))/(Sqrt[x])) \[DifferentialD]x

4. Úvod do řešení diferenciálních rovnic

4.1. Diferenciální rovnice prvního a vyšších řádů

4.1.1. Výpočet I.

◼ pozn.:Funkce DSolve není v Mathematica CalcCenter podporována. I přesto je možné diferenciální rovnice v Mathematica CalcCenter rešit užitím funkce SolveODE.
• Pro řešení diferenciálních rovnic n-tého řádu a soustavy diferenciálních rovnic se používá integrované funkce DSolve.
• Ukažme si nyní jednotlivé zápisy funkce DSolve:
	◦ DSolve[rce, y, x]:				řeší diferenciální rovnici rce pro závislou proměnnou y s nezávisle proměnnou x
	 ◦ DSolve[{rce, y[x0]= =x0, ...}, y, x]:	řeší diferenciální rovnici rce s počátečními podmínkami y[x0]==x0, ...
	◦ DSolve[{rce1, rce2, ...}, {y1, y2, ...}, x]	řeší soustavu diferenciálních rovnic

• Syntaxe funkce SolveODE pro Mathematica CalcCenter.
	◦ SolveODE[rce, y, {x, xmin, xmax}]				nalezne numerické řešení obyčejné diferenciální rovnice rce pro závislou proměnnou y s 	nezávisle proměnnou x v mezích od xmin po xmax.
	
	◦ SolveODE[rce, y, {x, xmin, xmax}, {t, tmin, tmax}]	nalezne numerické řešení parciální diferenciální rovnice rce pro závislou proměnnou y s nezávisle proměnnou x v mezích od xmin po xmax a parametr t v mezích od tmin po tmax.
	
	◦ SolveODE[rce, {y1, y2, ...}, {x, xmin, xmax}]		nalezne numerická řešení pro funkce y1, y2, ...

4. Úvod do řešení diferenciálních rovnic

4.1. Diferenciální rovnice prvního a vyšších řádů

4.1.2. Výpočet II.

• Ukažme si několik příkladů použití funkce DSolve:
	◦ příklad 1.

DSolve[y'[x] - y[x] == 0,  y[x], x]

◦ příklad 2.

DSolve[{y'[x] - y[x] == 0,  y[0] == 1},  y[x], 
      x]

◦ příklad 3.

DSolve[{y''[x] + Tan[x] y'[x] == Sin[2 x],  
        y[0] == 1,  y'[0] == 1}, y[x],  x]

4. Úvod do řešení diferenciálních rovnic

4.1. Diferenciální rovnice prvního a vyšších řádů

4.1.3. Výpočet III.

• Ukažme si několik příkladů použití funkce DSolve (pokračování):
	◦ příklad 4.

DSolve[y''[x] + y'[x] == Sin[x], y[x],  x]

◦ příklad 5.

DSolve[{y'[x]  -  z[x]  -  x == 
          0,  z'[x]  +  y[x]  - 2*x == 0},  {y[x],  z[x]}, 
      x]

• Někdy nám Mathematica zobrazí výsledek v né příliš pěkné podobě. V tomto případě pro zjednodušení výsledku můžeme použít speciální funkce Simplify. Její předpis je následující:	Simplify [výraz].
• Ukažme si použití funkce Simplify na předchozím příkladu č.5, zápis bude vypadat následovně:
	◦ příklad 6.

Simplify[
      DSolve[{y'[x]  -  z[x]  -  x == 
            0,  z'[x]  +  y[x]  - 2*x == 0},  {y[x],  z[x]}, 
        x]]

4. Úvod do řešení diferenciálních rovnic

4.1. Diferenciální rovnice prvního a vyšších řádů

4.1.4. Příklady I.

• Příklady k procvičení:

	a)	y'' = -y,      			y = y(x)

	b)	y' = (y/x) (1+ln(y/x)),   		y = y(x)

	c)	(x+2y) y' = 1,			y = y(x), y(0) = -1      

	d)	y' = 2(((((y + 2)/(x + y - 1))))^2),      		y = y(x)

	e)	y' + y tg(x) = (1/(cos(x))),      	y = y(x)

	f)	y'' - 2y' + 2y = 4(e^x) sin(x),	y = y(x)

4. Úvod do řešení diferenciálních rovnic

4.1. Diferenciální rovnice prvního a vyšších řádů

4.1.5. Příklady II.

• Příklady k procvičení (pokračování):

	g)	y' = z + x
		z' = -y + 2x,			y = y(x), z = z(x)

	h)	y' = z
		z' = -y,				y = y(x), z = z(x)

	i)	z' + z - 8y = 0
		y' - z -   y = 0,			y = y(x), z = z(x)

	j)	w' = 2w - y - z
		y' = 2w - y - 2z
		z' = 2z - w + y,		y = y(x), z = z(x), w = w(x)

4. Úvod do řešení diferenciálních rovnic

4.1. Diferenciální rovnice prvního a vyšších řádů

4.1.6. Výsledky I.

• Řešení:
	a)

DSolve[y''[x] + y[x] == 0,  y[x],  x]

b)

DSolve[y'[x] == y[x]/x (1 + Log[y[x]/x]),  y[x],  
      x]

c)

DSolve[{(x + 2 y[x]) y'[x] == 1,  
        y[0] == -1},  y[x], x]

4. Úvod do řešení diferenciálních rovnic

4.1. Diferenciální rovnice prvního a vyšších řádů

4.1.7. Výsledky II.

• Řešení (pokračování):

d)

Simplify[
      DSolve[y'[x] == 2 ((y[x] + 2)/(x + y[x] - 1))^2, 
        y[x], x]]

e)

DSolve[y'[x] + y[x] Tan[x] == 1/Cos[x],  y[x], 
      x]

f)

Simplify[
      DSolve[y''[x] - 2 y'[x] + 2 y[x] == 
          4 (E^x) Sin[x],  y[x], x]]

4. Úvod do řešení diferenciálních rovnic

4.1. Diferenciální rovnice prvního a vyšších řádů

4.1.8. Výsledky III.

• Řešení (pokračování):
	g)

Simplify[
      DSolve[{y'[x] == 
            z[x] + x,  z'[x] == -y[x] + 2 x},  {y[x],  
          z[x]},  x]]

h)

DSolve[{y'[x] == z[x],  z'[x] == -y[x]}, {y[
          x], z[x]},  x]

i)

Expand[
      DSolve[{z'[x] + z[x] - 8 y[x] == 
            0,  y'[x] - z[x] - y[x] == 0}, {y[x], z[x]}, 
        x]]

j)

Simplify[
      DSolve[{w'[x] == 2 w[x] - y[x] - z[x],  y'[x] == 
            2 w[x] - y[x] - 2 z[x],  z'[x] == 
            2 z[x] - w[x] + y[x]}, {y[x],  z[x],  w[x]}, x]]

5. Použitá literatura

• Základy práce v prostředí Mathematica, Ing. Bronislav Chramcov, Univerzita Tomáše Bati ve Zlíně, Zlín, 2005
		
	• http://www.wolfram.com	..........................................................................	Homepage of Wolfram Research, Inc.

	• http://documents.wolfram.com/mathematica/Mathematica_V5_Book.zip    ..........	Stephen Wolfram's The Mathematica Book, in pdf (cca 24 MB)

	• http://documents.wolfram.com/calccenter	....................................................	Html dokumentace k Mathematica CalcCenter

	• Sbírka řešených příkladů z matematiky, Doc. RNDr. František Jirásek CSc., Doc. Ing. Eduard Kriegelstein, Ing. Zdeněk Tichý, SNTL / ALFA, Praha, 1982
		
	• Příklady z matematiky pro fyziky III., Jiří Kopáček a kol., MATFYZPRESS MFF UK, Praha 1996