Pohyb nabité částice v homogenním magnetickém poli - Úvod:

Našim úkolem bude tentokrát prozkoumat pohyb nabité částice v homogenním magnetickém poli, přičemž se omezíme na malé rychlosti 
(nebudeme uvažovat relativistické efekty). 
Využívat přitom budeme druhého Newtonova zákona: 

 (Overscript[(F ), ⇀]) = m (Overscript[(a ), ⇀]) 
 
a Lorentzova zákona 

 (Overscript[F, ⇀]) = q ( (Overscript[E, ⇀]) +  (Overscript[v, ⇀])  × (Overscript[B, ⇀])  )
 
Pokud vezmeme že  (Overscript[E, ⇀]) = 0 , dostáváme základní pohybovou rovnici

((Overscript[r, ⇀])^″)[ t ] = (q/m)  ((Overscript[r, ⇀])^′)[ t ] × (Overscript[B, ⇀]) 

vektor (Overscript[B, ⇀])   budeme uvažovat konstantní a rovnoběžný s osou z.

Základní definice

Nejprve si definujeme základní veličiny.

zrychleni = {(x^″)[t], (y^″)[
            t], (z^″)[t]};

rychlost = {(x^′)[t], (y^′)[t], (z^′)[
            t]};

magpole = {0, 0, B};

Zapíšeme diferenciální rovnici:

rce1 = 
      zrychleni == q/m Cross[rychlost, magpole] // Thread

Zavedeme novou veličinu ω  vztahem  ω = B q / m a dosadíme do naší rovnice:

rce1 = rce1 /. {B -> m/q ω}

Řešení pohybové rovnice

Zadáme počáteční podmínky:

pocatek = {x[0] == 0, (x^′)[0] == v0x, 
          y[0] == 0, (y^′)[0] == v0y, 
          z[0] == 0, (z^′)[0] == v0z};

Můžeme přistoupit k řešení:

res = DSolve[Join[{rce1, pocatek}], {x[t], y[t], z[t]}, t] // 
          Flatten // FullSimplify

Získané výsledky si zobrazíme i graficky, abychom si udělali názornou představu o pohybu částice.

Grafické znázornění

Abychom mohli zobrazit graf, musíme zadat numerické hodnoty konstant ( příklad elektronu ):

hodnoty1 = {q -> 1.602*10^-19, B -> 1*10^-3, 
          m -> 9.109*10^-31};

hodnoty2 = {ω ->  q/m B /. hodnoty1, 
          v0x -> 1*10^6, v0y -> 1*10^6, 
          v0z -> 1*10^5};

Samozřejmě si můžeme zadávat různé počáteční hodnoty veličin a sledovat v grafu změny.
Zobrazíme si tedy trajektorii:

graf1 = 
        ParametricPlot3D[{x[t], y[t], z[t], {Thickness[0.02]}} /. res /. 
              hodnoty2 // Evaluate, {t, 0, (1*10^-7.2) π}, 
          PlotPoints -> 1000];

Vidíme, že trajektorií je šroubovice.

Pokud bychom chtěli znázornit i vektorové magnetické pole, můžeme to udělat následovně:

Needs["Graphics`PlotField3D`"];

graf2 = 
        PlotVectorField3D[{0, 0, B} /. hodnoty1 // Evaluate, {x, -0.02, 
            0.02}, {y, -0.02, 0.02}, {z, 0, 0.02}, 
          VectorHeads -> True, PlotPoints -> 4, 
          DisplayFunction -> Identity];
Show[graf1, graf2];

Úkol

Trajektorie má tvar šroubovice, která se může stáčet doleva či doprava. 
Které veličiny toto určují? Zkuste získat opačný smysl otáčení, než který byl v našem příkladu.